la belleza del algebra

¡LA BELLEZA DEL ALGEBRA!:

-Sara Echavarria osorno

-Luisa pamplona

MENSAJE:

-"Feliz el hombre que no sigue los consejos de los malvados,ni se detiene en el camino de los pecadores, ni se sienta en la reunion de los impios, si no que se complace en la ley del señor y la medita de dia y de noche"

a continuacion les mostrare un video del salmo 23.

MARCO TEORICO:

EL ALGEBRA

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» جبر (yabr) , proviene del árabe y significa "reducción".

ALGEBRA ELEMENTAL:

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
Permite la formulación de relaciones Funcionales.

HISTORIA:

Si bien la palabra álgebra viene del vocablo árabe (al-Jabr, الجبر), sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.

Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el libro Arithmetica de Diophantus está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, el sentido del Resumen del libro se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del álgebra"), en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". El matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar. Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi se basan sobre el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría "con una serie de los problemas por resolver", sino con una "exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase".

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad.

NOTACION ALGEBRAICA:

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

SIGNOS DEL ALGEBRA:

Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

Signos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a x b.

Signos de relación

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de agrupación

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: [{(a + b) - c} ⋅ d] indica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d.

OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS:

Dados los polinomios $\scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)$ , de la forma general:

$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + a_3 x^{3} + \dots + a_n x^n \,$

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO EN UN PUNTO:

Partiendo de un polinomio $\scriptstyle P(x)$ , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de $\scriptstyle x$ , $\scriptstyle x\ =\ b$ , se obtiene sustituyendo la variable $x$ del polinomio por el valor $b$ y se realizan las operaciones. El resultado de $P(b)$ es valor numérico del polinomio para $\scriptstyle x\ =\ b$ . En el caso general:

$P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n$

tomará un valor para $x = b$ , de:

$P(b) = a_0 b^{0} + a_1 b^{1} + \cdots + a_n b^n$

Ejemplo:

Dado el polinomio:

$P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;$

cual es su valor para $x = 2$ , sustituyendo x por su valor, tenemos:

$P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5$

Con el resultado de:

$P(2) = 9 \;$

IGUALDAD DE POLINOMIOS:

Dados dos polinomios:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, \qquad Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$

de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:

$\forall i\in \{1,\dots,n\}: (a_i = b_i)$

Ejemplo:

$P(x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 4\,$

$Q(x) = 5 x +5 x^{3} - 4 - x^{2} \,$

en este caso:

$P(x) = Q(x) \,$

POLINOMIOS OPUESTOS:

Dados dos polinomios:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

$Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$

de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

$P(x) = -Q(x) \,$

si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:

$\forall_{i=1}^{n} {a_i} = {- b_i}$

Ejemplo:

$P(x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 2,3 x - 6 \,$

$Q(x) = + 3 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 2,3 x + 6 \,$

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.

ADICION DE POLINOMIOS:

La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.

Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

$Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$

el polinomio suma R(x), será:

$R(x) = P(x) + Q(x) \,$

que es lo mismo que:

$R(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} + \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$

sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:

$R(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) x^{i}$

Ejemplo:

Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.

$\begin{array}{rrrrrrrr} & 3x^6 & -2x^5 & +8x^4 & +8x^3 & -3x^2 & +7x & +1 \\ + & & +4x^5 & +x^4 & +9x^3 & -12x^2 & +6x & -5 \\ \hline & 3x^6 & +2x^5 & +9x^4 & +17x^3 & -15x^2 & +13x & -4 \\ \end{array}$

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x⁵ + 10x³ - 2x² - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ + 8x³= 10x³
-5x² + 3x²= -2x³
6 - 4 = 2

RESTA DE POLINOMIOS:

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x - 3

También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2 Q(x) = 6x³ + 8x +3

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x⁵ - 6 x³ - 8x² + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ - 8x³= -6x³
-5x² - 3x²= -8x³
6 - (-4) = 10

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS:

Multiplicación de un polinomio por un escalar

Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.

Si el polinomio es:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Y lo multiplicamos por k:

$k \cdot P(x) = k \cdot \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Dando lugar a:

$k \cdot P(x) = \sum_{i = 0}^{n} k \cdot a_{i} \, x^{i}$

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1$

Lo multiplicamos por 3,

$3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)$

Operando con los coeficientes:

$3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)$

Y tenemos como resultado:

$3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3$

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & 2x^4 & +5x^3 & -6x^2 & +7x & +1 \\ \times & & & & & 3 \\ \hline & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3 \end{array}$

Que es la forma aritmética para hacer la operación.

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

y el monomio es:

$M(x) = b \, x^{j}$

el producto del polinomio por el monomio es:

$P(x) \cdot M(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} \, x^{i}) \cdot b \, x^{j}$

Agrupando términos:

$P(x) \cdot M(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} \cdot b) \, (x^{i} \cdot x^{j})$

El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:

$P(x) \cdot M(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} \cdot b) \, x^{i+j}$

Que es el resultado del producto.

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4$

y del monomio:

$M(x) = 3 \, x^{2}$

La multiplicación es:

$P(x) \cdot M(x) = (5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4 ) \cdot 3 \, x^{2}$

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

$P(x) \cdot M(x) = (5 \cdot 3 ) \, x^{5} \cdot x^{2} + (7\cdot 3 ) \, x^{4}\cdot x^{2} + ( - 5\cdot 3 ) \, x^{3} \cdot x^{2} + (3\cdot 3 ) \, x^{2}\cdot x^{2} +(- 8\cdot 3 ) \, x \cdot x^{2} + (4\cdot 3) \cdot x^{2}$

realizando las operaciones:

$P(x) \cdot M(x) = 15 \, x^{7} + 21 \, x^{6} - 15 \, x^{5} + 9 \, x^{4} - 24 \, x^{3} + 12 \, x^{2}$

esta misma operación, se puede representar de esta forma:

$\begin{array}{rrrrrrrrr} & 5x^5 & +7x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -8x & +4 \\ \times & & & & & & 3x^2 \\ \hline & 15x^7 & +21x^6 & -15x^5 & +9x^4 & -24x^3 & +12x^2 \end{array}$

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)

Multiplicación de dos polinomios

Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m, así si:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

$Q(x) = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j}$

entonces:

$P(x) \cdot Q(x) = \Big( \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} \Big) \cdot \Big( \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j} \Big)$

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

$P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} ( a_{i} x^{i} ) \cdot ( b_{j} x^{j} )$

agrupando términos:

$P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i} b_{j} x^{i} x^{j}$

operando potencias de la misma base:

$P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i} b_{j} x^{i+j}$

El doble sumatorio anterior puede reordenarse en la siguiente forma:

$P(x)\cdot Q(x) = \sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) x^k$

Ejemplo:

vamos a multiplicar los polinomios:

$P(x) = - 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3$

$Q(x) = 3 \, x^{2} + x - 4$

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline \end{array}$

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:

$P(x) \cdot ( - 4) = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot ( - 4)$

que resulta:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ \end{array}$

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

$P(x) \cdot x = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot x$

al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ \end{array}$

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

$P(x) \cdot 3 \, x^{2} = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot 3 \, x^{2}$

lo que resulta:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\ \end{array}$

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\ \hline -6x^5 & +13x^4 & +31x^3 & -23x^2 & -27x & +12 \end{array}$

este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.

Ejemplos:

Multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero.

Reglas:

Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos

Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es planteandolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos semejantes

DIVISION DE POLINOMIOS:

La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

tal que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + [[resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

ejemplo:

veamos un ejemplo para:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

que para la realización de la división representamos:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline \end{array} \end{array}$

como resultado de la división finalizada:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ -3x^4 & +6x^3 & +3x^2 & & \\ \hline 0 & 4x^3 & +7x^2 & +2x & -3 \\ & -4x^3 & +8x^2 & +4x & \\ \hline & 0 & 15x^2 & +6x & -3 \\ & & -15x^2 & +30x & +15 \\ \hline & & & +36x & +12 \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline 3x^2 & +4x & +15 \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \end{array} \end{array}$

Teorema Del Resto: El resto $R$ de la división de un polinomio $P(x)$ por un binomio de forma $(x + a)$ es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por $-a$ ). Formalmente puede expresarse como:

$R = P( - a )\;$

Por ejemplo, si

$P(x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x - 20 \,$

y el binomio divisor es

$(x-2) \,$

entonces el resto será $P( 2 )\,$ , y se obtiene el resto:

$P(2) = 3 \times 16 - 5 \times 4 + 3 \times 2 - 20 = 14 \,$

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

AL FINAL DE EXPLICAR CADA TEMA SE MOSTRARA UN VIDEO CON UNA CORTA REFLEXION:

CONCEPTO DE FUNCIÓN:

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A= π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un únicocuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

...,

Estación → E,

Museo → M,

Arroyo → A,

Rosa → R,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k², o sencillamente f(k) = k²;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función

HISTORIA:

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculoen el siglo XVII.¹ René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.

Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIÓN:

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s² recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos:

Tiempo t (s)	Distancia d (m)
0,0	0,0
0,5	0,1
1,0	0,3
1,5	0,7
2,0	1,3
2,5	2,0

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t²,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.

Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t²/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

DEFINICIÓN EN GENERAL:

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación² f que a cada elemento de A le asigna unúnico elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.

Ejemplos

Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominio R.
Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R \ {0}, y con codominio R.
Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}.
Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es R.
En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

Funciones con múltiples variables

Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes.

La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A₁ y A₂, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a₁, a₂), con primera componente en A₁ y segunda componente en A₂. Este conjunto se denomina elproducto cartesiano de A₁ y A₂, y se denota por A₁ × A₂.

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto R⁺ × R⁺, el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a₁, ..., a_n), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto N × N.

Notación. Nomenclatura

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

$\begin{align}f:\,&A\to B\\ &a\to f(a) \end{align}$

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.²

Ejemplos

La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x³ para cada número real x.
La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.
La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.
La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.
La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a₁, a₂) no se denota por f((a₁, a₂)), sino por f(a₁, a₂), y similarmente para más variables.

Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios. Algunas bastante extendidas son:

Función real. f : R → R
Función compleja. f : C → C
Función escalar. f : Rⁿ → R
Función vectorial. f : Rⁿ → R^m

En particular, las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto.

Imagen e imagen inversa

Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función.

Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a un cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a, f(a).

El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es la imagen de la función f(también rango o recorrido de f). El conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.

La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las imágenes de f yX se denotan:

$\begin{align} &\text{Im}(f) = \{b\in B: \text{existe }a\in A\text{ tal que }f(a)=b\}\\ &f(X) = \{b\in X: \text{existe }a\in A\text{ tal que }f(a)=b\} \end{align}$

La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f⁻¹(b).

La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada elemento de Y, y se escribe f⁻¹(Y).

Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista, se escriben:

$\begin{align} &f^{-1}(b)=\{a\in A:f(a)=b\}\\ &f^{-1}(Y)=\{a\in A:\text{ existe }b\in Y\text{ con }f(a)=b\} \end{align}$

Ejemplos

La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, f⁻¹(R⁺) = R⁺.
El recorrido de la función inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0, 1/x = 0.
Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:

γ(Perro) = Canis, y γ⁻¹(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

Como el área es siempre un número positivo, el recorrido de la función área A es R⁺.
En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincide con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v⁻¹(Partido A) tiene 2 elementos.

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple:

Tienen el mismo dominio: A = C

Tienen el mismo codominio: B = D

Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Funciones

Inyectiva

No inyectiva

Sobreyectiva


Biyectiva

No sobreyectiva

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:

$\text{Si }a,a'\in A\text{ y }a\neq a',\text{ entonces }f(a)\neq f(a')$

o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:

$\text{Si }a,a'\in A\text{ y }f(a)=f(a'),\text{ entonces }a=a'$

Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

$\text{Im}(f)=B\!$

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

$\text{Para cada }b\in B\text{ existe un }a\in A\text{ con }f(a)=b$

Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido.

Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos:

Una función f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como todas las funciones—, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.

Ejemplos.

La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.
La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos.
La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R⁺. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.

Álgebra de funciones

Con las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedades similares a las de la multiplicación.

Composición de funciones

La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g..

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva función.

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A→ D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga:

$x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos

La imagen de la función «inverso» g es R \ {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)³ = 1/x³.
Dadas las funciones reales h₁: R → R y h₂: R → R dadas por h₁(x) = x² y h₂(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes,h₁ ∘ h₂ y h₂ ∘ h₁. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:

(h₁ ∘ h₂)(x) = h₁(h₂(x)) = h₁(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1, y

(h₂ ∘ h₁)(x) = h₂(h₁(x)) = h₂(x²) = x² + 1

La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden:

(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

Función identidad.

En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

Dado un conjunto A, la función identidad de A es la función id_A : A → A que a cada a ∈ A le asocia id_A(a) = a.

También se denota como I_A. La función identidad actúa como un elemento neutro al componer funciones, ya que no «hace nada».

Dada una función cualquiera f : A → B se tiene:

$\begin{align} &f\circ \text{id}_A = f\\ &\text{id}_B \circ f=f \end{align}$

Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que:

$\begin{align} &x\ \stackrel{\text{id}_A}{\longmapsto}\ x\ \stackrel{f}{\longmapsto}\ f(x)\\ &x\ \stackrel{f}{\longmapsto}\ f(x)\ \stackrel{\text{id}_B}{\longmapsto}\ f(x) \end{align}$

Función inversa.

Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.

Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple:

$\begin{align} &f\circ g = \text{id}_B\\ &g \circ f = \text{id}_A \end{align}$

La inversa se denota por g = f⁻¹, y tanto f como f⁻¹ se dicen invertibles.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

Toda función biyectiva f es invertible, y su inversa f⁻¹ es biyectiva a su vez. Recíprocamente, toda función invertible f es biyectiva.

La notación para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio b, f⁻¹(b) puede denotar tanto la anti-imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la función inversa de f (un elemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.

Ejemplos.

La función «exponencial» h : R → R, que asocia a cada número real su exponencial, h(x) = e^x, no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de h.
Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la India y Guatemala), la conversión está dada (en 2011) por:
Q(r) = 0,15 × r
Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetzales a rupias:
R(q) = 6,65 × q
La función cubo f(x) = x³ es invertible, ya que podemos definir la función inversa mediante la raíz cúbica, f⁻¹(x) = ³√x.
La función de clasificación en géneros γ : M → G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada género pueden existir varios mamíferos clasificados en él.
La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor:

Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes

Restricción y extensión.

La función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función que a cada miembro del electorado le asigna su voto.

La restricción de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de la original, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la primera es una extensión de la segunda.

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, de forma que el dominio de g sea un subconjunto del dominio de f, C ⊆ A, y cuyas imágenes coinciden en este subconjunto:

$f(x)=g(x),\text{ para cada }x\in C\,,$

se dice entonces que g es la restricción de f al subconjunto C, y que f es una extensión de g.

La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C ⊆ A se denota por f|_C.

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma $y=f(x)$ . Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

$\begin{array}{c|cccccc} X & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline Y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \end{array}$

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Definición formal

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

Una función es un conjunto f de pares ordenados tal que no contiene dos pares distintos con la misma primera componente:

$(a,b),\,(a,c)\in f\Rightarrow b=c$

El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

$\begin{align} &\text{Dom}(f)=\{a:\text{ Existe }b\text{ con }(a,b)\in f\}\\ &\text{Im}(f)=\{b:\text{ Existe }a\text{ con }(a,b)\in f\} \end{align}$

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:³

Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que:

G(f) ⊂ A × B

Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ G(f)

Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈ G(f), entonces b = c.

De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominio distinto.

MEDIDAS DE POSICION:

las medidas de posicion dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo numero de individuos.

para calcular las medidas de posicion es necesario que los datos esten ordenados de menor a mayor.

-las medidas de posicion son:

CUARTILES:

Los cuartiles son los 3 valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1,Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos.

Q2 coinciden con la mediana

CALCULOS DE LOS CUARTILES:

1.ordenamos los datos de menor a mayor.

2.buscamos el lugar donde ocupa el cuartil mediante la expresion Cálculo de los cuartiles

- numero impar de datos:

-numero par de datos:

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

CALCULOS DE LOS CUARTILES POR DATOS:

en primer lugar buscamos las clases donde se encuentran

, en la tabla de las frecuencias acomuladas

L_{i es el limite inferior donde se encuentra la mediana.}
_{N es la suma de las frecuencias absolutas}
F_{i-1 es la frecuencia acomulada anterior a la clase media.}
a_{i es la amplitud de la clase.}

_{EJERCICIOS DE CUARTILES:}

_{CALCULAR LOS CUARTILES DE LA DISTRIBUCION DE LA TABLA:}

	f_i	F_i
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D₅ coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles

en primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a_i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de deciles

Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

	f_i	F_i
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P₅₀ coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a_i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

	f_i	F_i
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Percentil 35

Percentil 60

ARTICULOS MATEMATICOS

Los Polinomios De Tchebycheff:

Descubiertos por el matemático ruso Pafnuti Lvóvich
Tchebycheff (1821-1894), son polinomios de gran
importancia en la teoría de aproximación de
funciones, ya sea por interpolación o bien por ajuste
en los llamados nodos de Tchebycheff (las raíces de
estos polinomios). El uso de estos polinomios en estos
nodos para realizar la interpolación funcional permite
minimizar el llamado error de Runge, que consiste en
un aumento del error de interpolación cuando se usan
polinomios de alto grado.
Presentan, como veremos la particularidad de que
pueden obtenerse de forma recursiva y también como
soluciones de una cierta ecuación diferencial de
segundo orden.

ABEL,GALOIS Y EL CONCEPTO DE ESTRUCTURA

MATEMATICA

No obstante lo corto de sus vidas, a los matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois se
debe la fundamentación del importante concepto de Grupo en Matemáticas. Aunque más
adelante aclararemos los términos, por ahora daremos una idea de lo que se entiende por
Grupo sin intentar una definición rigurosa. En Matemáticas un conjunto de elementos, por
ejemplo de números, constituyen un Grupo asociado a una operación matemática , por ejemplo
la suma, si la suma de dos de esos elementos da un elemento de ese mismo conjunto. El
Grupo constituye una Estructura Matemática. Existen otras Estructuras Matemáticas como las
Estructuras de Anillo y de Cuerpo.
Sin lo dramáticamente peculiar de sus vidas, habrían pasado a la historia de la ciencia, los
nombres de Niels Henrik Abel y Evariste Galois, dos ilustres matemáticos, por su talento y por
la importancia de sus obras.
Niels Henrik Abel desarrolló su obra en los primeros años del siglo XlX. En su natal Noruega,
pronto se destacó en el campo de las Matemáticas a las cuales hizo aportes que sólo después
de su muerte fueron altamente valorados. Sus trabajos se concentraron en la resolución de
ecuaciones algebraicas y en la teoría de los grupos, fundamental concepto de la Matemática
Moderna. Tal es la importancia de su contribución, que un tipo de Grupos Matemáticos se
denominan Abelianos. Con motivo de conmemorarse en el 2002 el bicentenario de su
nacimiento, se instituyó el Premio Abel de Matemáticas en honor a él.
Pero de tanta gloria ni siquiera sospechó Abel por la indiferencia o por la ignorancia de sus
contemporáneos que no lo reconocieron al menos en su inmediato entorno, cosa muy común.
No obstante sus trabajos llegaron a Berlín y su universidad acordó nombrarlo profesor de su
claustro, distinción inmensa, pero la notificación llegó adonde hubiera podido recibirla Abel, dos
días después de morir víctima de la tuberculosis. Tenía tan solo 27 años.
Análoga a la de Abel es la historia del francés Evariste Galois. Vivieron en la misma época y se
dedicaron también dentro de las Matemáticas al estudio de los Grupos, pero no tenemos
noticias de que se conocieran. Al igual que Abel, sus trabajos sólo fueron reconocidos, y de que
manera, después de su muerte pero de tal forma que en cualquier texto de Álgebra Moderna su
nombre como el de Abel es citado alrededor de veinte veces.
Presumiendo su muerte escribió a un amigo una carta en la cual resumía toda su Teoría de los
Grupos y le pedía que se la enseñara a los conocidos matemáticos Jacobi y Gauss solicitando su
opinión. Al otro día de enviarla murió en un duelo a los 21 años de edad. El amigo no hizo lo
que le pedía Galois. La carta apareció catorce años después.
Triste historia de dos genios cuyas vidas fueron tronchadas cuando comenzaban, ignorados
absurdamente por sus contemporáneos. Hemos calificado el no reconocimiento a tiempo de
ignorancia, abulia, indiferencia, pero no hemos acudido a una explicación que es muy
probable: la envidia, la envidia muy presente en estos casos, bien que lo saben los envidiables
envidiados.
Para poder mas adelante ocuparnos del concepto de grupo, debemos previamente tratar sobre
el de Estructura Matemática para lo cual es necesario exponer, el de Estructura en general
siguiendo los criterios de Jean Piaget y Claude Levi- Struss.
Sin pretender una definición rigurosa, diremos que una Estructura es a) un sistema de
elementos interrelacionados entre si, b) el sistema presenta propiedades que no se
evidenciaban en los elementos aisladamente (emergencia), c) los elementos interaccionan
(operan) entre si dando lugar a elementos que también pertenecen al sistema. La condición c)
nos recuerda el concepto de Grupo que al principio dimos. Por lo menos por la condición b), el
surgimiento de propiedades emergentes (emergencia) en la Estructura, esto es, propiedades
que no evidenciaban los elementos por separado, se asemeja el concepto de Estructura al de
Sistema Complejo en el contexto de la Teoría de la Complejidad. Conocidos estos aspectos
podremos entender que se tengan como ejemplos de Estructura, atendiendo principalmente a
la Emergencia, los siguientes sistemas:
- La mente. La conciencia emerge en el sistema de neuronas, ninguna neurona es consciente
por si sola.
- La Sociedad. Las relaciones sociales emergen en la colectividad, un individuo aislado no
evidencia lo social.
- La molécula. El cloruro de sodio. la sal común, emerge al combinarse el átomo de cloro
con el de sodio. Ni el átomo de cloro ni el de sodio, aisladamente, son la sal común.
- Según Ferdinand de Saussure considerado como el fundador de la lingüística, la lengua
es un conjunto de signos que aislados nada significan, sólo al integrarse en la Estructura
habla, los signos adquieren significado.
En cada uno de los ejemplos mostrados, se cumple también la condición c) antes enunciada.
En cada caso, una relación propia del sistema (una operación) efectuada entre elementos del
mismo, da lugar a un elemento del mismo conjunto. En la mente: la sinapsis, en la sociedad las
respectivas y conocidas relaciones, en el caso de las molécula: las combinaciones químicas y en
el habla: las reglas gramaticales.
Llegado a este punto ya podemos referirnos al ejemplo de Estructura que nos ocupa: la
Estructura Matemática. El Grupo de cuyo concepto ya dimos idea, muestra las características
de Estructura en general. Veamos, el conjunto de los números enteros y positivos con la
operación suma constituye una Estructura. Los números aislados fuera del sistema nada
significan, sólo toman significado cuando emergen propiedades como la suma dando como
resultado elementos que también son del conjunto.

DEDUCCION E INTERPRETACION DE LA ECUACION

DE KEYNES:

La Ecuación del Consumo aparece en la teoría del economista británico John Maynard
Keynes, En la literatura de divulgación mas difundida suele presentarse sin deducción
lo cual nos ha motivado a desarrollar ese paso utilizando los métodos del Análisis
Matemático. Partimos de la definición de lo que Keynes denomina propensión marginal
a consumir. Llama así a la relación que existe entre la variación del consumo y, y la
variación del ingreso disponible x. Representamos por Δy la variación del consumo y
por Δx la del ingreso. Con lo cual, si representamos por P la propensión media ,
atendiendo a la definición se tendrá: P=Δy/Δx.
Como lo que nos interesa es la propensión al consumo para una variación del ingreso
que puede ser tan pequeño como se quiera, tomaremos para esa propensión a la que
designaremos por p, el límite para Δx tendiendo a cero de P, con lo cual p será la
derivada del ingreso variable respecto al también variable consumo, de modo que se
cumplirá la expresión que nos servirá de partida para la deducción de la Ecuación de
Keynes que nos proponemos: dy/dx=p.
De la ecuación diferencial anterior se llega a: y=∫pdx. Integrando: y=px+C. Para
determinar el valor de la constante de integración C, tendremos en cuenta que aunque
no haya ingresos es necesario realizar un consumo y0 para lo que puede considerarse
como la supervivencia. Haremos pues, en la igualdad anterior x=0 por lo cual C=y0 y
llegamos a la Ecuación de Keynes:
y = px + y0 (1)
En (1) reconocemos la ecuación de la recta: y=mx+b donde m pendiente (tangente del
ángulo de la recta con la dirección positiva de las x) y b ordenada del punto de
intersección de la recta con el eje vertical, punto al cual se le llama intercepto. De
modo que en (1). la propensión al consumo p quedará evidenciada, por lo dicho,
gráficamente mediante la inclinación “hacia la derecha” de la recta, así como el
intercepto y0 marcará sobre las ordenadas el consumo necesario aún sin ingresos.
Adelantamos que también la intersección de la recta con el eje de las x, esto es la
abscisa cuando y=0, (intercepto sobre las x) tendrá un significado importante pues
marcará en el gráfico, la relación con el ingreso de las variaciones de la propensión al
consumo.
En el gráfico que presentamos, las rectas 1 y 2 muestran dos situaciones o momentos
diferentes de un mismo proceso en el cual el consumo necesario y0 (OA en la figura)
permanece constante. La recta 1 representa el momento inicial de un proceso en el
que la propensión al consumo disminuye ( disminuye el ángulo de inclinación) y pasa a
la situación representada por la recta 2. Se advierte un movimiento como de palanca
de la recta con A como fulcro, lo cual trae como consecuencia el corrimiento “hacia la
izquierda” de la intersección con el eje de las x. Como adelantamos, esta variación del
intercepto en x con la propensión al consumo, es muy importante puesto que tal cosa
da cuenta de la relación de la propensión con los ingresos. Para la correcta
interpretación de los valores que indica el segmento O1 o el O2, hay que tener en
cuenta que son abscisas negativas y que por tanto un aumento de la longitud del
segmento significa un aumento de la negatividad de la cantidad representada.

INTRODUCCION AL CALCULO DE DIFERENCIAS

FINITAS:

El Cálculo IntegroDiferencial ha sido durante el siglo XX una eficaz herramienta en
el estudio, análisis y modelización de acontecimientos y avatares de la Física
Teórica y de la Física Experimental, de la Técnica y de la Ingeniería. Como su
nombre nos puede indicar, es un cálculo basado en diferencias (cálculo diferencial)
o en sumaciones indefinidas (cálculo integral), cuando los parámetros que
establecen la amplitud de las diferencias y de las sumas tienden a anularse, a
hacerse infinitamente pequeños, al límite cero.
La construcción de diferencias finitas de valores funcionales, de las fórmulas de su
aplicación a sumas, productos, cocientes, etc., de funciones reales o complejas es,
sin duda, de una gran importancia a la hora de dar el paso al límite cero que
convierte los cálculos en diferencias en cálculo diferencial, o las sumaciones
indefinidas en cálculo integral.
En estas notas pretendemos, por tanto, previsualizar las reglas del cálculo
diferencial actuando con operaciones en diferencias finitas y sumaciones indefinidas
como previa preparación al paso al límite cero. Para facilitar los cálculos usaremos
los operadores en diferencias clásicos y sus correspondientes inversos para las
sumaciones indefinidas.

LA DINAMICA DEL CAOS:

La Dinámica, como es sabido, es la parte de la Física que estudia el movimiento. Por
sistemas dinámicos entenderemos en este trabajo, los sitemas físicos, químicos,
biológicos y sociales, cuyas propiedades varían con el tiempo y por lo general los
estudiaremos mediante sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo:
dx/dt=f(x,y.z)
dy/dt=g(x,y,z) (1)
dz/dt=h(x,y,z)
a los cuales llamaremos por brevedad, sistemas dinámicos.
Para el tratamiento del caos en el contexto de la Teoría del Caos, los sistemas
dinámicos serán no lineales.
El climatólogo norteamericano Edward Lorenz desarrolló la Teoría del Caos como hoy
la conocemos, motivado por advertir que cuando por medio de sistemas de ecuaciones
diferenciales semejantes a (1), intentaba establecer pronósticos de condiciones
climáticas, partiendo de determinadas condiciones iniciales, los resultados variaban
notablemente con sólo variar ligeramente los valores iniciales de las variables. Se le
ha llamado caos a la situación que presenta un sistema dinámico cuando por ligeros
cambios en las condiciones iniciales, a partir de ciertos valores de las variables, éstos
cambian considerablemente sin presentar ni periodicidad ni aparente orden
Lorenz modeló matemáticamente la dinámica del caos mediante el siguiente sistema
de ecuaciones:
dx/dt=σ(y-x)
dy/dt=rx-y-xz (2)
dz/dt=xy-bz
La no linealidad la advertimos en los términos xz y xy. σ es el número de Pradtl. R
número de Rayleigh y b una constante sin nombre.
La resolución de sistemas como (1) y (2), a veces no posible por los métodos
generales lo que hace recurrir a métodos numéricos y gráficos, conduce a la posiblidad
de deteriminar en el espacio fásico de las x,y, z o análogas, trayectorias fásicas,
conformando un retrato fásico del sistema, cada uno de cuyos puntos representan un
estado del mismo. El flujo de trayectorias fásicas, remeda el de un fluído. Los puntos
donde eventualmente convergen las trayectorias fásicas se denominan puntos fijos
estables o atractores y constituyen estados estacionarios para los cuales los primeros

MENSAJE PARA CULMINACION DEL BLOG:

Que nuestro Señor Jesucristo mismo y Dios nuestro Padre, que nos amó y
por su gracia nos dio consuelo eterno y una buena esperanza,
os anime y os fortalezca el corazón, para que tanto en palabra como en obra
hagáis todo lo que sea bueno.

miércoles, 28 de marzo de 2012

Signos de operación

Signos de relación

Signos de agrupación

IGUALDAD DE POLINOMIOS:

POLINOMIOS OPUESTOS:

Multiplicación de un polinomio por un escalar

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Multiplicación de dos polinomios

Funciones con múltiples variables

Notación. Nomenclatura

Imagen e imagen inversa

Igualdad de funciones

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Composición de funciones

Función identidad.

Función inversa.

Restricción y extensión.

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles

Cálculo de los deciles

Ejercicio de deciles

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

Percentiles

Cálculo de los percentiles

Ejercicio de percentiles

Percentil 35

Percentil 60